Что мы знаем о треугольниках

Мир треугольников

Мир треугольников настолько разнообразен, что учащимся, начинающим изучать

геометрию в школьном курсе математики, важно знать в каких сферах жизни человека они встречаются и как применяются. Этот материал может помочь изучать математику и другие дисциплины на более ответственном уровне.

Содержимое разработки

Творческая работа ученика 7-б класса МБОУ лицей №130 «РАЭПШ“

Руководитель проекта –учитель математики Торопкин В.И

В этом учебном году мы начали изучать новый предмет «геометрия».

Одна из глав курса геометрии называется «Треугольники». Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотел узнать много нового о треугольниках. Ведь мир треугольников очень загадочен и интересен. Я хочу узнать как можно больше о происхождении треугольников, об их значении в нашей жизни.

Треугольники в мифах и легендах.

Треугольники в алхимии.

Алхимия (позднелатинское alchemia, alchimia, alchymia) восходит к греческому chemeia от арабского cheo (лью, отливаю), что указывает на связь алхимии с искусством плавки и литья металлов. Другое толкование происхождения слова «Алхимия» — от египетского иероглифа «хми», означавшего черную (плодородную) землю, в противовес бесплодным пескам. Этим иероглифом обозначался Египет, место, где, возможно, возникла алхимия, которую часто называли «египетским искусством».

Важнейшей задачей алхимики считали превращение (трансмутацию) неблагородных металлов в благородные (ценные), в чем собственно и заключалась главная задача химии до 16 столетия. Эта идея базировалась на представлениях греческой философии о том, что материальный мир состоит из одного или нескольких «первоэлементов», которые при определенных условиях могут переходить друг в друга. Задачей средневековых алхимиков было приготовление двух таинственных веществ, с помощью которых можно было бы достичь желанного облагораживания (трансмутации) металлов. Наиболее важный из этих двух препаратов, который должен был обладать свойством превращать в золото не только серебро, но и такие, например, металлы, как свинец, ртуть и т. д., носил название философского камня, красного льва, великого эликсира (от араб. аль-иксир — философский камень). Это средство должно было не только облагораживать металлы, но и служить универсальным лекарством; раствор его, так называемый золотой напиток, должен был исцелять все болезни, омолаживать старое тело и удлинять жизнь.

Родиной алхимии считается Древний Египет. Алхимики вели начало своей науки от Гермеса Трисмегиста (он же египетский бог Тот), и поэтому искусство делать золото называлось герметическим. Свои сосуды алхимики запечатывали печатью с изображением Гермеса – отсюда выражение «герметически закрытый».

Треугольники в алхимии.

Треугольники в литературе и искусстве

Геометрия отношений не так проста, как может показаться. Казалось бы, в идеале в любви должно быть только двое, но тонкие чувства не терпят простоты. И вот кто-то врывается в чужую жизнь, и в любви образуется треугольник – это хорошо описано в следующих произведениях

«Капитанская дочка» А.С.Пушкин

«Евгений Онегин» А.С.Пушкин

«Герой нашего времени» Н.Ю.Лермонтов

Бильярдный треугольник-это пятнадцать бильярдных шаров, которые в начале игры выкладываются треугольником на столе.

Треугольники на уроках математики

Блез Паскаль является выдающимся французским математиком, писателем, физиком и религиозным философом. Он автор целого ряда работ, которые посвящены алгебре, теории чисел, теории вероятности. Ученый был одним из основателей проективной геометрии и математического анализа, создателем первых образцов вычислительной техники, автор формулировки основного закона гидростатики

Треугольники при измерениях на местности.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Треугольники

Все о треугольниках

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Признак принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, и точки B и C видны из отрезка AD под одним углом (то есть ∠ABD=∠ACD), то точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Дано: точки B и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD,

Доказать: точки A, B, C, D лежат на одной окружности

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)

Сумма углов параллелограмма

Рассмотрим задачи в которых известна сумма углов параллелограмма.

Сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360° (как сумма углов выпуклого четырёхугольника).

Для параллелограмма ABCD

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

1) лежит на средней линии трапеции,

2) равен полуразности оснований трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,

F — середина AC, K — середина BD,

MN — средняя линия трапеции

Замечательное свойство трапеции

Замечательное свойство трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

Существует несколько способов доказательства этого свойства. Надо доказать, что четыре данные точки лежат на одной прямой. Прямую можно провести через любые две точки. Выбирают две любые точки из четырёх, проводят через них прямую и доказывают, что две другие точки также лежат на этой прямой.

Сформулируем это свойство иначе:

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

Дано:

ABCD- трапеция, AD||BC,

Доказать: K- середина AD,

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, делится этой точкой пополам.

Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,

Доказать: O — середина FK.

Медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне

Медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника.

Дано: ΔABC,

Источник