Что мы понимаем под произведением вектора на число

СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Программы письменных теоретических опросов(на 10 минут)

Первый теоретический опрос.

Знать определения: направленного отрезка, нулевого направленного отрезка, длины направленного отрезка, коллинеарных направленных отрезков, сонаправленных и противоположно направленных направленных отрезков, вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов, противоположных векторов, вектора параллельного плоскости, компланарных векторов. Суммы векторов, разности векторов, произведения вектора на число.

Знать формулировки: свойства сложения векторов, свойства произведения вектора на число, теорему о разности векторов, теорему о коллинеарных векторах, теорему о компланарных векторах.

Второй теоретический опрос.

Знать определения: системы линейно зависимых и линейно независимых векторов, базиса векторного пространства, ортонормированного базиса, координат вектора в данном базисе, угла между векторами, скалярного произведения векторов.

Знать формулировки: свойства систем линейно зависимых и линейно независимых систем векторов, теоремы 1, 2, 3 о линейной зависимости систем из одного двух и трех векторов и следствия из них, теорема о координатах вектора, теорему о вычислении скалярного произведения в ортонормированном базисе и следствия из нее, свойства скалярного произведения векторов.

СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Вектором называется множество всех направленных отрезков пространства, любые два из которых сонаправлены и имеют равные длины, эти направленные отрезки будем называть представителями вектора а. Векторы будем обозначать жирными буквами, например, вектор а, Если направленный отрезок а, то вектор а можно обозначать АВ.

Длиной вектора называется длина любого его представителя.

Векторы а и b называются сонаправленными, если любые два их представителя сонаправленны, будем обозначать сонаправленные векторы так: а ↑↑b. Векторы а и b называются противоположно направленными, если любые два их представителя противоположно направлены, будем обозначать противоположно направленные векторы так: а ↑↓b.

Вектор называется параллельным прямой, если любой его представитель либо параллелен прямой, либо лежит на этой прямой. Два вектора а и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Коллинеарные векторы будем обозначать так а││ b.

Вектор называется параллельным плоскости, если любой его представитель либо параллелен плоскости, либо лежит в этой плоскости. Три и более векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. (Любые два вектора компланарны)

Если дан вектор а и точка О, то существует единственная точка А, такая, что АВ = а, будем в этом случае говорить, что вектор а отложен от точке А. Договоримся под словами «построить вектор а» понимать отложить вектор а от какой либо точки О, т.е. построить точку А такую, что а = ОА.

Противоположными векторами называются такие два вектора, которые противоположно направлены и длины которых равны. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так (— а).

Суммой векторов а иb называется вектор с, который получается следующим образом: от произвольной точки А отложим вектор АВ = а, от точка В отложим вектор ВС =b, тогда с = а +b = АС. Указанное в этом определении правило сложения векторов называется правилом треугольника. (Рис. 1) Если векторы а и b не коллинеарны, то можно от произвольной точки О отложит векторы ОА = а иОВ =b, построить параллелограмм ОАСВ, тогда вектор ОС = а +b. Сложение векторов по этому правилу называется правилом параллелограмма (Рис. 2)

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а а + 0 = 0 + а.

2°. Для любого вектора а а + (- а) = (- а) + а = 0.

3°. Для любых векторов а и ba + b = b + a (свойство коммутативности).

4°. Для любых трех векторов a, b, c (a + b)+ c = a + (b + c) (свойство ассоциативности).

Произведением числоλ на вектор а(или произведением вектора а на число λ )будем называть вектор b = λ а, удовлетворяющей двум условиям: 1)длина вектора b равна произведению модуля числа λ и длины вектора а │b│= │ λ ││а│, 2) если λ 0, то вектор b сонаправлен с вектором а, если λ

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а 1 а = а.

2°. Для любого вектора а 0 а = а.

3°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ β) а = λ (β а).

4°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ+ β) а = λ а + β а.

5°. Для любых векторов а и b любого числа λ λ(a + b) = λa + λb.

Для решения задач данного раздела целесообразно придерживаться следующих рекомендаций: а) если надо построить алгебраическую сумму векторов, то все векторы со знаками минус заменяем на противоположные векторы со знаками плюс, б) сумма п векторов не изменится, если поменять местами любые два вектора, в) для построения суммы п векторов строим эту сумму по правилу п-угольника, т.е. сначала выбираем направленный отрезок из первого вектора, затем от его конца откладываем направленный отрезок из второго вектора, затем от конца этого отрезка откладываем направленный отрезок из третьего вектора и так далее, тогда соединив начало первого направленного отрезка с концом последнего направленного отрезка, получим направленный отрезок из искомой суммы.

ЗАДАЧА № 1

Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О. Построить вектор

АВ – EF +2ОF.

1) АВ – EF +2ОF = АВ + FE+2ОF

2) Рассмотрим направленный отрезок , от точки В отложим направленный отрезок из вектора FE,затем от точки С отложим направленный отрезок из вектора 2ОF.

Тогда АВ – EF +2ОF = АF.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АF.

ЗАДАЧА № 2.

— ½ С₁А₁ +СА₁ – ДА + ½ (СВ – В₁А₁)

1) – ½ С₁А₁ +СА₁ – ДА + ½ (СВ – В₁А₁) = ½ А₁С₁ +СА₁ + АД+ ½ СВ + ½ А₁В₁

2) Поменяем местами слагаемые ½А₁С₁ +СА₁ + АД+ ½ СВ + ½ А₁В₁ =

АД +½СВ +½А₁В₁ + ½А₁С₁ + СА₁

3) Откладываем направленные отрезки из данных векторов следующим образом:

АД, ½СВ, ½А₁В₁, ½А₁С₁, СА₁, где М – середина АД, О = АС ВД.

АД +½СВ +½А₁В₁ + ½А₁С₁ + СА₁ = АА₁.

Замечание. Задачи такого типа имеет разные пути решения, но ответ должен быть один и тот же.
При решении данной задачи можно было рассуждать следующим образом:

– ½ С₁А₁ +СА₁ – ДА + ½ (СВ – В₁А₁) = ½ А₁ С₁ +СА₁ + АД + ½ (СВ +

А₁ В₁) = ½ АС + СА₁ + АД + ½ (СВ + ДС) = ½ АС + СА₁ + АД + ½ ДВ =

ОС + СА₁ + АД + ДО = (ДО + ОС) + СА₁ + АД = ДС + СА₁ + АД=

Существуют и другие пути построения искомого вектора.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АА₁.

Источник

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

Источник

Презентация по геометрии на тему «Произведение вектора на число. Свойства произведения»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Произведение вектора на число. Свойства произведения 9 класс Л.С. Атанасян Учитель Коченко Светлана Викторовна

1) Постройте сумму а + b, используя правило треугольника. а b c Построение: d Дано: а b 1) a + b Повторение

5) Упростите выражение: 1 вариант. CA – OB – CD + AB = 2 вариант. BA + CD – OD – CA = = CA + BO + DC + AB = = DO. = BA + CD + DO + AC = = BA + AC + CD + DO = = BO. = DC + CA + AB + BO =

Рассмотрим пример: Один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй автомобиль движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. Изучение нового материала

Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна k a, причем векторы a и b сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k0. Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор 0 k =0 Произведение вектора a на число обозначается: k a. Определения:

Из определения произведения вектора на число следует, что: 1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор a 0=0 ; 2) для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka коллинеарные.

Основные свойства умножения вектора на число: Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1 2 3

Рисунок иллюстрирует сочетательный закон. Представлен случай, когда k = 2, l = 3. B O 1

2 Рисунок иллюстрирует первый распределительный закон. Представлен случай, когда k = 3, l = 2. B O OB =

Упражнение № 776 а) б)

Задача № 779 Решение. Аналогично получаем: а= а= р; р; Ответ: Направления: , , , , ; 2

Домашнее задание п. 83 № 776б, 780 Спасибо за внимание

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1400287

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Трехлетнюю олимпиаду среди школ запустят в России в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ

Время чтения: 1 минута

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Исследования вакцины для детей младше 12 лет начнутся с 2022 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник