Что мы подразумеваем под траекторией движения

Способы описания движения. Траектория. Путь. Перемещение

Урок 2. Физика 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Способы описания движения. Траектория. Путь. Перемещение»

На прошлом уроке мы с вами говорили о механическом движении. Давайте вспомним, что механическим движением называется изменение положения тела или частей тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Теперь давайте вспомним, как рассчитывается положение точки в любой момент времени относительно выбранной системы отсчёта. Это можно сделать несколькими способами. Но мы пока рассмотри два — наиболее часто применяющиеся.

Первый способ — координатный. Очевидно, что при движении точки в выбранной системе отсчёта её координаты с течением времени изменяются. То есть они зависят от времени или, говорят, являются функциями времени:

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Если уравнения движения известны, то мы можем рассчитать координаты точки для любого момента времени, а следовательно, и её положение относительно выбранного тела отсчёта.

В зависимости от характера движения, положение точки может быть определено одной, двумя или тремя координатами. Так, например, для описания движения поезда нам достаточно связать с телом отсчёта систему координат, состоящую из одной координатной оси.

Однако при изучении движения тела на плоскости её уже будет недостаточно. В этом случае нам необходимо использовать систему координат с двумя взаимно перпендикулярными осями.

Соответственно, при рассмотрении движения тела в пространстве с телом отсчёта связывается система координат, состоящая из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей.

Второй способ описания движения — векторный. В нём положение точки задаётся при помощи радиус-вектора.

Радиус-вектор — это направленный отрезок, проведённый из начала координат в данную точку.

При движении материальной точки радиус-вектор, как и координаты, является функцией времени, так как он изменяет свою длину и поворачивается:

Записанное уравнение является уравнением движения точки, записанным в векторном виде. Если оно известно, то мы можем для любого момента времени рассчитать радиус-вектор точки, а значит, определить её положение.

Таким образом, задание трёх скалярных уравнений равносильно заданию одного векторного уравнения.

Однако при решении большинства задач используется понятие не вектора, а его проекции на ось координат.

Согласно определению, проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «плюс» или «минус».

Обозначать проекцию вектора будем той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом внизу, указывающим, на какую ось проецируется вектор:

Давайте условимся, что проекцию вектора на ось мы будем брать со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением координатной оси́, на которую он проецируется. При этом обратите внимание: угол между вектором и координатной осью является острым. Соответственно, если направление вектора и координатной оси́ не совпадают, то проекцию вектора на эту ось будем брать со знаком «минус». Как видно из рисунка, в этом случае угол между вектором и осью координат является тупым.

Для примера давайте определим проекции векторов а и b, представленных на рисунке. Модуль вектора b равен 3 м, а сам вектор направлен под углом 115 о к оси Х.

Так же положение точки через некоторый промежуток времени можно определить, зная траекторию её движения, начальное положение точки на этой траектории и путь, пройденный точкой за этот промежуток времени. Давайте с вами вспомним, что траекторией называется воображаемая линия, по которой движется точка в пространстве. А путь — это длина траектории, которую описала точка за время своего движения.

В зависимости от формы траектории любые движения точки можно разделить на прямолинейные и криволинейные. Здесь всё просто. Если траекторией является прямая линия, то движение прямолинейное, если кривая — криволинейное.

Однако, в случае, когда траектория движения точки неизвестна, её положение в некоторый момент времени определить невозможно. Например, пусть в некоторый момент времени наша материальная точка занимает в пространстве некоторое положение М₁. Вопрос: где окажется точка спустя некоторый промежуток времени после этого момента? Очевидно, что ответов на этот вопрос бесконечное множество, даже если знать, какой путь успела она пройти за этот промежуток времени. Следовательно, для ответа на этот вопрос нам необходимо знать ещё и направление, в котором двигалась точка, то есть знать её вектор перемещения или просто перемещение.

Перемещением называется вектор, проведённый из начального положения точки в её конечное положение.

При векторном способе задания движения перемещение можно рассматривать как изменение радиус-вектора движущейся точки. Покажем это. Пусть в некоторый момент времени t­₁ положение точки задаётся радиус вектором . Соответственно, в момент времени t­₂ — радиус-вектором . Тогда, чтобы найти изменение радиус вектора за промежуток времени (t­₂ – t­₁), нужно из конечного вектора вычесть вектор начальный.

Из полученного рисунка видно, что перемещение, совершенное точкой за промежуток времени Δt, есть изменение её радиус-вектора за это время:

Теперь напомним важную деталь: путь, пройденный телом, нельзя сравнивать с его перемещением. Ведь путь — это величина скалярная, а перемещение — векторная. Поэтому сравнивать путь можно только с модулем перемещения. При этом следует помнить, что путь может быть равен модулю перемещения только в случае прямолинейного однонаправленного движения. Во всех остальных случаях путь всегда больше модуля перемещения.

Для примера решим такую задачу. Мальчик на роликах пересёк прямоугольную площадку по диагонали AB, а второй мальчик прошёл пешком из точки A в точку B по краю площадки. Определите модули перемещений обоих мальчиков и пути, пройденные ими, если размеры площадки 60 х 80 м.

В заключении урока рассмотрим опыт, описанный ещё в книге Галилея «Диалог о двух системах мира». Итак, у нас есть корабль, движущийся по реке, и два наблюдателя: на корабле и на берегу реки. С вершины мачты на палубу падает ядро. Для наблюдателя, находящегося на палубе, траекторией движения ядра является прямая линия. А путь и модуль перемещения ядра будут равны.

Однако с точки зрения наблюдателя, находящегося на берегу, ядро будет двигаться по ветке параболы, так как оно имеет некоторую начальную горизонтальную скорость, равную скорости корабля. Поэтому для него на берегу ядро будет двигаться по криволинейной траектории. А модуль его перемещения не будет равен пройденному пути.

Этот простой и очень наглядный пример говорит нам о том, что форма траектории, путь и перемещение тела зависят от выбора системы отсчёта.

Источник

Механическое движение

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

Векторные величины (определяются значением и направлением)

Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.

Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

→ →
V = S/t

→
V — скорость [м/с]
→
S — перемещение [м]
t — время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
S — путь [м]
t — время [с]

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уравнение движения

Основной задачей механики является определение положения тела в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) = x0 + vxt

x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
vx — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

Уравнение движения при движении против оси

x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
vx — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Графики

Изменение любой величины можно описать графически. Вместо того, чтобы писать множество значений, можно просто начертить график — это проще.

В видео ниже разбираемся, как строить графики кинематических величин и зачем они нужны.

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) = x0 + v0xt + axt^2/2

x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
v0x — начальная скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — время [с]
ax — ускорение [м/с^2]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

→ →
v = v0 + at

→
v — конечная скорость тела [м/с]
v0 — начальная скорость тела [м/с]
t — время [с]
→
a — ускорение [м/с^2]

Задача

Найдите местоположение автобуса через 0,5 часа после начала движения, разогнавшегося до скорости 60 км/ч за 3 минуты.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

Так как автобус двигался с места, v0 = 0. Значит
a = v/t

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч^2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x0 + v0xt + axt^2/2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
x = 1200*0,5^2/2 = 1200*0,522= 150 км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Графики

Мы уже знаем, что такое графики функций и зачем они нужны. Для прямолинейного равноускоренного движения графики будут отличаться. Об этом — в видео ниже

Движение по вертикали

Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с^2, а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с2. В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с2.

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.

Источник

СИСТЕМА ОТСЧЕТА. ТРАЕКТОРИЯ, ПУТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

Вэтой теме рассматриваются основные понятия, которыеиспользуют для описания движения тела – систему отсчета, траекторию, путь и перемещение.

Вы узнаете, из чего состоит система отсчета, а также в каких случаях движение тела можно рассматривать как движение одной точки.

Когда описывают движение тела, то всегда – явно или не явно – подразумевают движение этого тела относительно какого-то другого тела.Тело, по отношению к которому рассматривается движение всех тел в данной задаче, называется телом отсчета.

Часто в качестве тела отсчета подразумевается Земля. Например, когда говорят: «Автомобиль едет со скоростью 100 км/ч», имеют в виду скорость автомобиля относительно Земли. Но если говорят, что пассажир идет по вагону со скоростью 4 км/ч, имеют в виду скорость пассажира относительно вагона, то есть телом отсчета является вагон.

Иногда без явного указания тела отсчета обойтись просто нельзя: например, фраза «ракета летит со скоростью 10 км/с» будет непонятной, если не указать, относительно какого тела рассматривается движение ракеты — Земли, Солнца или другой ракеты.

Положение тела в данный момент времени задают с помощью системы координат,связанной с телом отсчета. А поскольку движение тела характеризуется изменением положения тела с течением времени,для описания движения нужны также часы.

Тело отсчета и связанные с ним система координат и часы образуют систему отсчета(рис. 1.1).

2. МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА

Во многих задачах для описания движения тела достаточно задать движение только одной его точки. В таком случае тело мысленно заменяют одной точкой.

Тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, называется материальной точкой.

Материальная точка является простейшей моделью тела, использование которой значительно упрощает описание его движения.

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном такие задачи, в которых тело можно считать материальной точкой.

КОГДА ТЕЛО МОЖНО СЧИТАТЬ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ?

Можно ли считать тело материальной точкой, зависит не от размеров тела («большое» оно или «маленькое»), а от поставленной задачи. Поэтому одно и то же тело в одних задачах может рассматриваться как материальная точка, а в других – нет.

Так, тело можно считать материальной точкой, если размеры тела малы по сравнению с расстоянием, пройденным телом,поскольку в этом случае различие в движении разных точек тела является несущественным.

Тело можно считать материальной точкой также при поступательном движениитела, то есть при таком движении, когда все точки тела движутся одинаково (так что любой отрезок, соединяющий две точки тела, остается параллельным самому себе), поскольку при поступательном движении, для описания движения тела достаточно задать движение только одной точки тела.

Движение самолета

Если надо найти время перелета самолета между двумя городами, самолет можно считать материальной точкой, потому что размеры самолета намного меньше расстояния между городами (рис. 1.2).

Если нужно описать движение самолета при выполнении фигур высшего пилотажа, то самолет нельзя считать материальной точкой, так как следует учитывать, что при этом различные точки самолета дви­жутся по-разному: самолет может покачивать крыльями, поднимать и опускать нос (рис. 1.3).

Движение Земли

При рассмотрении движения Земли вокруг Солнца Землю можно счи тать материальной точкой, потому что размеры Земли во много раз меньше расстояния от Земли до Солнца (рис. 1.4).

Если же нас интересует положение различных точек Земли в разные моменты времени при ее суточном вращении, Землю нельзя рассматривать как материальную точку (рис. 1.5).

Полет лыжника с трамплина

При прыжке с трамплина лыжник в полете движется практически по­ступательно. Поэтому для описания движения лыжника достаточно за­дать движение только одной его точки (рис. 1.6). Следовательно, при описании движения лыжника его можно считать материальной точкой.

3. ТРАЕКТОРИЯ, ПУТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

Линию в пространстве, по которой движется тело, называют траекторией движения тела.

Траектория является воображаемой линией, но, если тело оставляет след при движении, эта линия становится видимой. Наглядный пример – след, оставляемый высоко летящим самолетом (рис. 1.7). Этот след показывает траекторию самолета в системе отсчета, связанной с Землей.

Если тело вернулось в начальную точку, траектория называется замкнутой.

Например, если вы утром вышли из дому, а вечером вернулись домой, траектория вашего движения за день является замкнутой.

Длина траектории называется путем,пройденным телом.

Путь является скалярной величиной и обозначается обычно l.

Если некоторые участки траектории накладываются друг на друга (на­пример, при движении по окружности), то путем следует считать сумму длин всех участков траектории. Например, если автомобиль совершил три полных круга по кольцевому шоссе, то пройденный им путь в три раза больше длины окружности.

Чтобы определить точку, в которую переместилось тело в данный момент из начальной точки, задают

перемещениетела – направленный отрезок, проведенный из начального положения тела в его положение в данный момент времени (рис. 1.8).

Перемещение является векторной величиной и обозначается обычно ;модуль перемещения обозначается s.

ЗАВИСИТ ЛИ ТРАЕКТОРИЯ ОТ ВЫБОРА СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА?

Да, зависит: например, в одной системе отсчета траектория движения тела может быть прямолинейной, а в другой – криволинейной. Поэтому от выбора системы отсчета зависят и путь, и перемещение тела.

Пример (из книги Галилея)

Закрепим картонный или фанерный диск так, чтобы он мог вращаться вокруг горизонтальной оси (рис. 1.10).

Главное в этой теме

• Для описания движения тела необходимо выбрать систему отсчета,которая состоит из тела отсчета, системы координат, связанной с телом отсчета, и часов.

• Описание движения тела значительно упрощается, если можно пренебречь размерами тела. В таком случае тело называют материальной точкой.

• Траекториейдвижения тела называется воображаемая линия в пространстве, по которой движется тело. Длина траектории называется путем. Перемещениемтела называется направленный отрезок, проведенный из начального положения тела в его положение в данный момент времени.

• Форма траектории, путь и перемещение тела зависят от выбора системы отсчета.

Домашнее задание.

I. Выучить § 1 (Учебник: Л.Э. Генденштейн, Ю.И. Дик «Физика 10 класс», издательство «Мнемозина», 2010 г.)

II. Ответить на вопросы

1. Что принимают за тело отсчета, когда говорят: а) автомобиль движется со скоростью 100 км/ч; б) Земля движется по своей орбите со скоростью 30 км/с?

2. Зачем нужна система отсчета? Из чего она состоит?

3. Можно ли считать Землю материальной точкой при рассмотрении ее движения вокруг Солнца?

4. Приведите примеры задач, в которых спортсмена можно рассматривать как материальную точку.

5. Что такое траектория движения? Приведите примеры прямолинейной и криволинейной траекторией движения.

6*. Чем отличается путь от перемещения?

7*. Какое движение тела называют поступательным? Приведите примеры поступательного движения.

8*. Когда тело можно считать материальной точкой, а когда – нельзя? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.

9*. Приведите примеры задач, в которых спортсмена нельзя рассматривать как материальную точку.

10*. При каком движении путь равен модулю перемещения?

11*. Может ли путь при движении тела уменьшаться?

III. Решить задачи.

1. Пассажир теплохода, выйди из каюты, прогулялся по верхней палубе и вернулся в каюту. В какой системе отсчёта его перемещение равно нулю? Отлично от нуля?

2. Каков модуль перемещения Земли за год в системе отсчёта, связанной с Солнцем?

3. В каких случаях движущееся тело оставляет след, т.е. «рисует» траекторию своего движения?

Об авторе:
Этот материал взят из источника в свободном доступе интернета. Вся грамматика источника сохранена.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →