Что изучает высшая алгебра
Высшая алгебра
Смотреть что такое «Высшая алгебра» в других словарях:
Алгебра — вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Высшая школа общей и прикладной физики — (ВШОПФ) Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского базовый факультет Института прикладной физики РАН и ННГУ им. Н. И. Лобачевского. Факультет образован в 1991 году по предложению ИПФ РАН с целью… … Википедия
Алгебра — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра (от араб. الجبر, «аль джабр» восполнение[1]) раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово… … Википедия
Общая алгебра — (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также… … Википедия
Магма (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Магма (значения). Магма (группоид) в абстрактной алгебре базовый тип алгебраической структуры. Магма состоит из множества М с одной бинарной операцией M × M → M. Помимо требования… … Википедия
Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия
Бюшгенс, Сергей Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Бюшгенс. Сергей Сергеевич Бюшгенс Дата рождения: 25 сентября (8 октября) 1882(1882 10 08) Место рождения: Москва, Российская империя Дата смерти … Википедия
Россия. Русская наука: Математика — Эпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1 10000 (тьма) и дробей двоичной системы вместе с некоторыми другими простейшими дробями вроде 1/3, 1/5, 1/7 и их подразделениями по двоичной… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Кожевников, Павел Александрович — Павел Александрович Кожевников Дата рождения: 25 мая 1976(1976 05 25) (36 лет) Место рождения: Калуга, СССР Страна … Википедия
МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из тстрок и n столбцов, элементы к рой принадлежат нек рому множеству К. Таблица (1) наз. также матрицей над К, или мат рицей размера над K. Пусть совокупность всех матриц над К. Если т=п, то (1) наз. квадратной… … Математическая энциклопедия
Общая алгебра
Из Википедии — свободной энциклопедии
Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между такими структурами.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки, с двумя бинарными операциями — кольца, почтикольца, поля, решётки. Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами, векторные пространства, алгебры над кольцами, алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы), многосортные алгебры.
Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы, подкольца, подрешётки) и факторсистемы (факторгруппы, факторкольца, факторрешётки).
Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй. Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии, логике, теории множеств.
Высшая алгебра математика
Абстрактная алгебра сформировалась на протяжении второй половины 19 и первой четверти 20 века и была впервые систематически изложена в монографии «Moderne Algebra» Ван дер Варден ( 1930 г.). Алгебраическая точка зрения вызвала чрезвычайно большое влияние на развитие многих областей математики в 20 веке, в частности теории чисел, топологии, алгебраической геометрии и функционального анализа.
Краткий исторический очерк
Примерно ко второй половине 19 века в алгебраических исследованиях больше внимания придавалось конкретным объектам, которые изучались методами, специально приспособленными к ситуации, чем общим концепциям. Приведем следующие примеры:
Но впоследствии на первый план вышли собственно структуры группы, кольца и т.п. Это позволяет рассматривать, например, любую группу подстановок G как абстрактную группу, то есть как множество с операциями, удовлетворяет определенной системе аксиом, и доказывать общие теоремы о группах, которые, в частности, касаются конкретной группы G ( Н. Абель, Э. Галуа ). Именно внедрение общей аксиоматической точки зрения на алгебраические объекты следует считать началом абстрактной алгебры как независимого дисциплины. Впоследствии были даны аксиоматические определения поля, кольца, векторного пространства, алгебры Ли, т. и было начато исследование всех этих структур.
Огромный вклад в развитие абстрактной алгебры в 1890-1930 г.г. сделали Д. Гильберт, Э. Артин и Э. Нетер, применивших аксиоматический метод для изучения коммутативных колец и модулей над ними и получили ряд серьезных результатов. Эти исследования по абстрактной алгебре, с некоторыми предыдущими исследованиями Л. Кронекера, Р. Дедекинда было впервые систематически преподнесен в чрезвычайно влиятельной монографии «Современная алгебра» («Moderne Algebra») Ван дер Варден, первое издание которой появилось в 1930-31 г.г.
Начиная с работ Д. Гильберта по теории интегральных операторов в начале 20 в. и Дж. фон Неймана из колец операторов в 1930 г.г., методы абстрактной алгебры нашли плодотворное применение в анализе, а впоследствии и в других областях математики. Потребности новой физики, прежде всего, квантовой теории, вызвали как распространение некоторых алгебраических идей вне алгебры, напр. группы, операторов из некоммутативных умножением, т.е. некоммутативных кольца, так и дальнейшее развитие самой алгебры.
Немало исследований в алгебре за последние 40-50 лет принадлежат к нескольким хорошо устроенных основных отраслей, таких как теория групп, коммутативна алгебра, или теория колец. С более новых подразделений абстрактной алгебры отметим алгебраическую комбинаторику, что на это время превратилась в самостоятельную дисциплину, приближенные к топологии теорию операд и гомотопические алгебру, и, наконец, теорию квантовых групп, внедренных В. Дринфельд, сравнительно новый раздел алгебры, потерпевшего бурного развития в течение последних двух десятилетий.
Основные структуры современной алгебры
Многие алгебраических структур возникают как подклассы перечисленных выше, которые удовлетворяют дополнительным аксиомам, например, булевы алгебры, коммутативные группы или кольца. Другие, такие как частично упорядоченные множества, решетки, Пуассона алгебры и алгебры Хопфа имеют еще и дополнительные операции. Есть также немало структур, которые не нашли широкого применения вне алгебры, например перхоти.
Подразделения абстрактной алгебры
Теория групп занимается изучением свойств абстрактных групп и их изображений.
Теория колец рассматривает произвольные (некоммутативных) кольца и ассоциативные алгебры.
Линейная алгебра рассматривает линейные пространства и линейные операторы между ними.
Коммутативна алгебра изучает свойства коммутативных колец и модулей над ними. Она имеет плотные связи с алгебраической геометрией и алгебраической теории чисел. До коммутативной алгебры можно отнести теорию полей и теорию Галуа.
Дифференциальная алгебра изучает алгебраические свойства систем диференцийних уравнения.
Гомологической алгебры изучает категории модулей с помощью комплексов, или дифференциальных градуированих модулей.
Универсальная алгебра, которая близка к математической логике, рассматривает произвольные алгебраические структуры, заданные системой аксиом.
Теория категорий позволяет изучать различные алгебраические концепции и взаимодействие между ними в наиболее абстрактном смысле.
Теория групп широко применим как в математике, например, в геометрии, топологии, гармоническом анализе и теории дифференциальных уравнений, так и за ее пределами, в таких отраслях как кристаллография, квантовая физика и квантовая химия. Линейная алгебра играет немаловажную роль почти во всех областях математики, а также в математической экономике. Из других разделов абстрактной алгебры, гомологической алгебры и теория категорий имеют плодотворные связи с алгебраической топологией.
Общая алгебра
Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки, две бинарных операции — в кольцах, почти-кольцах, полях, решётках. Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами, векторные пространства, ассоциативные алгебры, алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы), многосортные алгебры.
Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы, подкольца, подрешётки) и факторсистемы (факторгруппы, факторкольца, факторешётки). Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.
Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй. Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии, логике, теории множеств.
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Общая алгебра» в других словарях:
ОБЩАЯ АЛГЕБРА — часть алгебры, занимающаяся изучением тех или иных алгебраич. систем, включающая в себя теории групп, колец, модулей, полугрупп, решеток (структур) и т. п. Вне рамок О. а. остаются такие направления, как изучение матриц и линейных уравнений,… … Математическая энциклопедия
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ — (общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых… … Энциклопедия Кольера
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия
АЛГЕБРА — АЛГЕБРА, часть математики, развившаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Слово алгебра арабское (аль джебр), означает один из приемов преобразования алгебраических уравнений. Решение уравнений 1 й и 2 й степеней известно еще с … Современная энциклопедия
Алгебра — АЛГЕБРА, часть математики, развившаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Слово “алгебра” арабское (аль джебр), означает один из приемов преобразования алгебраических уравнений. Решение уравнений 1 й и 2 й степеней известно еще … Иллюстрированный энциклопедический словарь
АЛГЕБРА — (араб.) часть математики, развивающаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Решение уравнений 1 й и 2 й степеней известно еще с древности. В 16 в. итальянскими математиками найдены решения уравнений 3 й и 4 й степеней. К.… … Большой Энциклопедический словарь
АЛГЕБРА — жен. наука счисления буквами и другими условными знаками, взамен цифр, которые вставляются только при окончательном выводе; буквосчисление, общая арифметика. Алгебраический, алгебрический, к сему способу относящийся. Алгебраист, алгебрист муж.… … Толковый словарь Даля
Алгебра — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра (от араб. الجبر, «аль джабр» восполнение[1]) раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово… … Википедия
Высшая алгебра
Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, модули, решётки, а также отображения между такими структурами.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки, с двумя бинарными операциями — кольца, почтикольца, поля, решётки. Более сложными примерами алгебраических структур являются модули над кольцами, векторные пространства, алгебры над кольцами, алгебры Ли. Особо изучаются тернарные алгебры, полиадические алгебры (например, полиадические группы), многосортные алгебры.
Для изучения структур используются общие методы и сходные понятия: для отображения между структурами вводятся понятия гомоморфизмов, изоморфизмов, автоморфизмов, для изучения внутреннего строения вводятся подсистемы (подгруппы, подкольца, подрешётки) и факторсистемы (факторгруппы, факторкольца, факторрешётки).
Наиболее общие для всех этих алгебраических систем свойства формализуются и изучаются специальным разделом общей алгебры — универсальной алгеброй. Теория категорий, также считающаяся разделом общей алгебры, изучает свойства алгебраических структур и соотношений между ними с использованием таких абстракций, как объекты, морфизмы, функторы, которые обобщают соответствующие понятия не только в алгебраических структурах, но и в топологии, логике, теории множеств.
Разделы общей алгебры
Различные авторы включают в состав общей алгебры (высшей алгебры) следующие разделы математики:
Идеи общей алгебры используются во многих областях математики. Особенно активно используют её методы алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и алгебраическая топология.