Что изучает арифметика 5 класс математика
Значение слова «арифметика»
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, и вычислениях, связанных с задачами учёта при централизации сельского хозяйства. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.
В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые в первую очередь для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».
С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты поставили новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.
Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.
Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.
АРИФМЕ’ТИКА, и, мн. нет, ж. [греч. arithmētikē]. Учение о числах, выражаемых цифрами, и действиях над ними.
Арифметика
Что такое арифметика? Арифметика – раздел математики, работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).
Арифметику начинают изучать в начальной школе, потому что это основа математики, там изучаются основные операции с числами: сложение, вычитание, умножение, деление.
Арифметика – самый основной, базовый раздел математики. Возникновению она обязана потребностям людей в счете.
Ментальная арифметика
Что называется ментальной арифметикой? Ментальная арифметика – это метод обучения быстрому счету, пришедший из древности.
В настоящее время, в отличии от предыдущего, преподаватели стараются не только обучить детей скорости счета, но и стараются развить мышление.
Сам процесс обучения строится на использовании и развитии обоих полушарий мозга. Главное – уметь их использовать вместе, потому что они дополняют друг друга.
Действительно, левое полушарие отвечает за логику, речь и рациональность, а правое – за воображение.
В программу обучения входит обучение работы и использование такого инструмента, как абакус.
Абакус – главный инструмент в изучении ментальной арифметики, потому что ученики учатся работать с ними, перебирать костяшки и осознавать суть счета. Со временем абакус стает вашим воображением, а обучаемые представляют их, опираются на эти знания и решают примеры.
Отзывы о данных методах обучения весьма положительные. Есть один минус – обучение платное, а его позволить могут не все. Поэтому путь гения зависит от материального положения.
Математика и арифметика
Математика и арифметика тесно связанные понятия, а вернее арифметика – раздел математики, работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).
Арифметика – основной раздел, а значит и основа математики. Основа математики – важнейшие понятия и операции, составляющие базу, на которой строятся все последующие знания. В число главных операций входят: сложение, вычитание, умножение, деление.
Арифметика, как правило, изучается в школе с самого начала обучения, то есть. с первого класса. Дети осваивают базу математики.
Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.
Формула сложения выражается так: a + b = c.
Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.
Умножение – это действие, в итоге которого находится сумма одинаковых слагаемых.
Формула такого действия имеет вид: a1+a2+…+an=n*a.
Деление– это разбивание на равные части какого-либо числа или переменной.
Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.
Обучение арифметике
Обучение арифметике производится в стенах школы. С первого класса дети начинают изучение базового и главного раздела математики – арифметики.
Сложение чисел
Сложение – это сумма двух или нескольких чисел. Например, 2 + 3 = 5, и графически это можно представить так:
Большие число делиться на части, возьмем число 1234, а в нем: 4-единицы, 3-десятки, 2-сотни, 1-тысячи. Итак, если мы прибавляем 4 к 7, то 4+7=10+1, то есть 1 десяток и 1 единица. Если складывая числа в одном разряде (единицах, например) у вас число больше 10, но меньше 20, то в десяток вы добавляете единицу, а остальное оставляете на месте единиц.
Еще один пример: 8+9, получаем 10+7, значит в десятки мы добавляем 1, а на место единиц записываем 7, получаем 17.
Вычитание чисел
Вычитание – обратная операция сложению. Например, из 6 нужно вычесть 5. 6-5=1, 6 больше числа 5 на единицу, значит, и ответ будет единицей. Можно для проверки произвести сложение 1+5=6.
Аналогично делается с сотнями и тысячами/
Умножение чисел
Умножение чисел осваивается детьми во втором классе, и ничего в этом сложного нет. Сейчас мы рассмотрим умножение на примерах.
Пример 2*5. Это значит либо 2+2+2+2+2, либо 5+5. Берем 5 два раза или 2 пять раз. Ответ, соответственно, 10.
Пример 4*3. Аналогично, 4+4+4 или 3+3+3+3. Три раза по 4 или четыре раза по 3. Ответ 12.
Пример 5*3. Делаем так же как и предыдущие примеры. 5+5+5 или 3+3+3+3+3. Ответ 15.
Деление чисел
Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.
Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение. 3*3=9. Верно? Абсолютно.
Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.
Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика
Научитесь быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.
Правила арифметики
Порядок выполнения операций в выражении – очень важен!
Если пример имеет вид 2+3-4, то порядок в нем может быть каким угодно. Потому что операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Если выполним сначала сложение, то получим: 5-4=1, а если сначала вычитание, то: 2-1=1. Как видите результат одинаковый.
Аналогично с выражением умножения и деления. Операции умножения и деления имеют одинаковый приоритет. Например, 28:4. Выполним сначала умножение: 16:4=4, а если деление: 22=4.
Порядок имеет смысл, когда в выражении смешиваются операции сложения или вычитания, с операциями умножения или деления. Например:
2+22. Первым действием выполняются ВСЕ операции умножения и деления, а только потом сложения и вычитания. То есть выражение 2+22 = 2+4=6.
Но в выражениях присутствуют скобки. Скобки имеют свойство менять порядок операций. Рассмотрим предыдущий пример, только со скобками: (2+2)*2. В таком случае сначала выполняются операции в скобках, а затем вне скобок в порядке: 1. Умножение и деление 2. Сложение и вычитание.
Как вы могли убедиться на примерах, скобки имеют роль. И порядок операций так же.
Уроки арифметики
Уроки арифметики – школьные уроки, вплоть до шестого класса. Дальше математика открывает свои разделы: геометрия и алгебра, а позже и тригонометрия.
Подробно об операциях вы можете прочитать в наших статьях:
Арифметика 5 класс
В пятом классе школьник начинают изучение таких тем как: дробные числа, смешанные числа. Информацию про операции с этими числами вы можете найти в наших статьях по соответствующим операциям.
Дробное число – это отношение двух чисел друг к другу или же числителя к знаменателю. Дробное число можно заменить операцией деления. Например, ¼ = 1:4.
Смешанное число – это дробное число, только с выделенной целой частью. Целая часть выделяется при условии, что числитель больше знаменателя. Например, была дробь: 5/4, ее можно преобразовать, путем выделения целой части: 1целая и ¼.
Примеры для тренировки:
Задание №1:
Задание №2:
Арифметика 6 класс
В 6ом классе появляется тема преобразования дробей в строчную запись. Что это значит? Например, дана дробь ½, она будет равна 0,5. ¼ = 0.25.
Примеры могут составляться в таком стиле: 0.25+0.73+12/31.
Примеры для тренировки:
Задание №1:
Задание №2:
Игры для развития устного счета и скорости счета
Существуют прекрасные игры, способствующие развитию счета, помогающие развивать математические способности и математическое мышление, устный счет и скорость счета! Можно играть и развиваться! Вам интересно? Прочтите краткие статьи об играх и обязательно попробуйте себя.
Игра «Быстрый счет»
Игра «быстрый счет» поможет вам ускорить устный счет. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ да или нет на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.
Игра «Математические сравнения»
Игра «Математические сравнения» потребует от вас сравнения двух чисел на время. То есть вам предстоит выбрать как можно быстрее одно из двух чисел. Помните, что время ограничено, а чем больше вы ответите верно, тем лучше будут развиваться ваши математические способности! Попробуем?
Игра «Быстрое сложение»
Развитие феноменального устного счета
Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.
Скорочтение за 30 дней
Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.
Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет
Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.
После прохождения курса ребенок сможет:
Супер-память за 30 дней
Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.
Как улучшить память и развить внимание
Бесплатное практическое занятие от advance.
Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет
Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.
Деньги и мышление миллионера
Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.
Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.
Что изучает арифметика 5 класс математика
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА БУДУЩЕГО, ПРОВЕРЕННАЯ ПРОШЛЫМ
Этот сайт посвящен возрожденным классическим традициям образования.
С глубокой благодарностью к великим педагогам прошлого, оставившим нам это бесценное наследие.
АЛТУШКИНА ТАТЬЯНА АНАТОЛЬЕВНА
Руководитель проекта
Как перед многими мамами, передо мной когда-то встала проблема школьного обучения своих подросших детишек. Отдавать их в школу было безумно жалко. Я точно знала, что им там будет плохо, хотя и не могла тогда ясно сформулировать, почему…
ГОРЯЧЕВА ИРИНА АНАТОЛЬЕВНА
Разработчик филологического блока
Бывают ли в жизни чудеса.
В самом начале 2008 года мне позвонили из Екатеринбурга. За полторы тысячи километров от Москвы состоятельная многодетная мама, озадаченная образованием своих детишек, нашла мои публикации, посвящённые К. Д. Ушинскому, его учебным книгам, и обратилась ко мне за советами. Это был подарок свыше!
КОСТЕНКО ИГОРЬ ПЕТРОВИЧ
Разработчик математического блока, канд. физико-математич. наук, доцент
Более 140 опубликованных работ — научно-математических, научно-методических, историко-педагогических, в том числе учебник по теории вероятностей (изд. 2004 г. и 2012 г.) и монография «Проблема качества математического образования в свете исторической ретроспективы» (2013 г.).
НИФОНТОВА ЕЛИЗАВЕТА МИХАЙЛОВНА
Разработчик математического блока,
тренер-методист
Я работаю в Русской классической школе учителем математики и методистом уже более восьми лет. В эту школу я попала чудом, иначе не скажешь. Вспоминаю своё собеседование с учредителем школы — Татьяной Анатольевной.
БАЛАКАЕВ МИХАИЛ ГЕННАДЬЕВИЧ
Разработчик программ по истории
По образованию я юрист. Окончил Свердловский юридический институт по специальности «правоведение». После получения диплома работал в Институте философии и права УрО РАН. Потом судьба привела меня в школу, и я стал учителем истории.
МАЛЮГА НАТАЛЬЯ НИКОЛАЕВНА
Преподаватель начальной школы,
тренер-методист
Учителем начальных классов я работаю более 20 лет.
Начинала преподавать по программе традиционного обучения (математика М. И. Моро, Г. В. Бельтюкова; русский язык Т. Г. Рамзаевой, чтение М. И. Горецкого). Немного поработала и по программе «Школа 2100».
ШИПОВА НАТАЛЬЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА
Преподаватель филологии,
тренер-методист
Выбрать профессию учителя — это взять на себя огромную ответственность за юные души твоих учеников, а учитель-словесник вдвойне в ответе за то, какими людьми станут его ученики, с каким отношением к жизни, к людям, к Родине они выйдут из школы.
КОЧЕВА НИНА ВАСИЛЬЕВНА
Педагог дошкольного и начального образования,
тренер-методист
Я начала работать по этой программе десять лет назад. За спиной у меня к этому времени был многолетний опыт работы в общеобразовательной школе. И я думаю, что именно он помешал мне сразу принять и оценить новую программу.
КОСТЕНКОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ
Преподаватель
церковнославянского языка
По образованию я тренер-преподаватель. До работы в Русской классической школе был детским тренером по карате. Многого достиг как сам, будучи спортсменом, так и на тренерском поприще, и считал, что спорт — это призвание на всю мою жизнь…
ПЕТРОВА ГАЛИНА НИКОЛАЕВНА
Преподаватель филологии
По специальности я учитель английского и немецкого языков. В Русской классической школе работаю с 2011 года. Моё знакомство с РКШ началось с расписания уроков, которое я случайно увидела, будучи в гостях.
ВОЛКОВА ВЕРА БОРИСОВНА
Секретарь
Русской классической школы
Русская Классическая Школа стала частью моей жизни очень стремительно, буквально в течение одного дня.
Август 2012 года. Я уже полгода работаю секретарём в школе — приказы, документы, справки. А школа не обычная, средняя, а Русская классическая.
Что изучает арифметика 5 класс математика
Что такое арифметика – как наука? Что такое число? Откуда они появились и насколько необходимы в жизни человека.
Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.
Актуальность работы обусловлена тем, что каждый человек должен знать: в каком смысле употребляется слово «АРИФМЕТИКА».
Под словом «АРИФМЕТИКА» можно понимать:
-учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;
-«теоритическую арифметику»- часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые,рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);
-«формальную арифметику»- часть математической логики, занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;
-«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.
Объектом исследования является наука арифметика.
Предметом исследования выступает значение арифметики и чисел в нашей жизни.
Цель работы – узнать и разобраться в том, что действительно ли наука арифметика является как бы первой ступеней в математике, а также у знать откуда появились числа и почему они так пишутся.
2. Выявить, какова их роль в жизни человека.
3. Что я узнал об арифметике и числах, работая над проектом.
Методы исследования – изучение источников информации (книги, статьи, сайты), проведение анкетирования.
ГЛАВА 1. ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО
1.1 История возникновения чисел
Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Но такой способ был неудобен.
При ведении хозяйства, при общении с соплеменниками человек использовал пальцы рук, а иногда и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде, или показать, сколько мужчин пойдет сегодня на охоту.
Потом начали применять для счета подручные материалы (камушки, палочки и тд.) Цифры появились у разных народов в разное время.
Например, индейцы майя вместо цифр использовали только три обозначения: точку, линию и овал и записывали ими любые цифры.
В Древнем Египте около 7 тысяч лет назад использовали такую запись чисел: единица обозначалась палочкой, сотня — пальмовым листом.
А сто тысяч — обозначалось лягушкой (в дельте Нила было очень много лягушек, вот у людей и возникла такая ассоциация: сто тысяч — очень много, как лягушек в Ниле).
Римские цифры появились 2500 лет назад. С небольшими числами эта форма записи вполне удобна, но для записи больших чисел очень сложна. И с ними неудобно проводить вычисления. Сейчас римские цифры тоже применяют, например, в записи века, порядкового номера монарха и т.п.
Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.
У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу.
Поэтому считается, что современные привычные для нас цифры имеют арабское происхождение. Арабы немного видоизменили индийскую систему записи цифр, приспособив к своему письму. Но с течением времени цифры видоизменялись.
Считается, что арабские математики для удобства решили привязать количество углов в записи цифрык его численному значению. Например, в цифре 1 — один угол, в цифре 2 — два угла, в цифре 3 — три. И так до 9. Нуля еще не существовало, он появился позже. Вместо него просто оставляли пустое место.
Привычные нам формы цифр, более округлые, потому что угловатые цифры писать долго и не очень удобно.
Но, я заметил, что угловатые цифры все же используются и в нашей жизни при написании индекса на конверте, цифр в электронных часах и калькуляторах
Хотя они выглядят уже немного не так. Да и с развитием книгопечатания появилось много различных шрифтов как для букв, так и для цифр. Но в школах России учат писать всех детей одинаково.
Вот такая история цифр и чисел. Сейчас тоже используются разные числа. Некоторые страны, как например, арабские страны и Китай, пользуются своими особенными цифрами. Но, все-таки, наибольшее распространение получили арабские цифры, которые используют во всем мире.
Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.
Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
На стенной надписи в Индии в IX веке н. э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах
ГЛАВА 2. АРИФМЕТИКА.
2.1. Возникновение арифметики в жизни человека.
На первых порах развития человеческого общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета вполне обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног. Позже, возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало.
Прошли еще многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами.
Так постепенно возникла та арифметика, которую мы изучаем.
Слово «арифметика» происходит от греческого слова arithmos, что значит «число». В более точном переводе слово «арифметика» означает «числовое искусство»: «арифмос» – число, «техно» – искусство.
Эта наука изучает действия над целыми и дробными числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Но арифметика нужна не только для подсчета чисел. Арифметика учит правильно и экономно мыслить, рассуждать, приучает к точности, к проверке своих действий. Кроме того, без знания арифметики нельзя изучать никакой другой предмет.
Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, математический анализ и т. д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.
Развитие элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счета, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся:
— умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счету их совокупности;
— умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счете (пользование именованной «единицей» счета);
— умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз и навсегда упорядоченной совокупности объектов, т.е. совокупности объектов, расположенных в определенной последовательности.
Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счете предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлеченного понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий.
Сначала счет оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, при этом орудием счета служат зарубки на дереве («бирочный» счет), счетные камешки, четки, пальцы рук и т.п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» – как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») – как синоним и фактическая основа числительного «пять» и т.п.
Предполагается, что в далеком прошлом подобным образом считали наши предки.
Лет сто пятьдесят назад американские индейцы при счете пользовались пальцами рук и ног. Вместо один говорили «палец» и обязательно показывали его, вместо два говорили «два пальца» и показывали их: пять у них – «рука», шесть – «рука и один палец» и т.д.
Эскимосы из Северной Канады в 19 веке вместо 20 говорили «человек» (по числу пальцев), вместо 100 – «пять человек».
Некоторые индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, у них «много».
До недавнего времени в Австралии были племена, у которых для счета употреблялись только два числительных: один и два. Другие числа составлялись из этих. Например, 3 = два-один, 4 = два-два, 5 = два-два-один и т.д.
Словесный порядковый счет (раз, два, три и т.д.), прямую зависимость которого от пальцевого счета в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счетом групп, содержащих определенное число предметов. Это число образует основание соответствующей системы, равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 – «quatre-vingt» = 4*20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых отношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно были очень схожи у общавшихся между собой племен и народностей. Именно это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в настоящее время системы нумерации, принципа поместного значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имен числительных в различных языках, например: два – duo (латин.), two (англ.), dva (санскр.), δύο (греч.).
Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах древнего мира (Древнего Востока): Вавилоне, Китае, Индии, Египте.
Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний являются письменные документы Древнего Египта (папирусы математические). Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г.Ринда) относится к 20 веку до н.э. Папирусы математические – это сборники задач с указаниями их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач производится по существу с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии.
О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н.э. позволяют судить клинописные математические тексты.
Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции.
У древних греков практическая сторона арифметики не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, нежели вавилонская. С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке арифметики в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и – в неявной форме – также и теории иррациональных
2.2. Основной объект арифметики
Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4, … и так далее, возникли еще в доисторические времена из потребности счета конкретных предметов.
Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и тому подобное. Эта задача в процессе развития человеческого общества была постепенно достигнута параллельно с развитием письменности: понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в знаменитых памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел. В книге Архимеда «Псаммит» устанавливаются принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности бóльших, чем «число песчинок в мире».
С развитием понятия натурального числа, как результата счета предметов, в обиход включаются действия над числами: действия сложения, вычитания, умножения и деления. Начинают разрабатываться правила этих действий, изучаться из свойства, создаваться методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе – арифметики. В процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении все более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий.
Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записей чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.
Рассмотрим, например, более подробно об одном из огромного множества натуральных чисел – единица.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления. Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком, появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось.
Но уже И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Основное свойство, характеризующее число 1, таково:
а * 1 = а для любого числа а.
Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические объекты, для которых определена операция умножения.
2.3 Анкетирование одноклассников
«Что такое арифметика?», «История возникновения чисел», решил выяснить, знают ли мои сверстники о существовании данной науки, а также как и когда была она основана арифметика.
В опросе приняло участие 17 человек.
Вот какие результаты получились ( Приложение 1,2 ).
Глава 3. Великие математики древности.
Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история – Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (6 в. до н.э.).
На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала важнейшей частью его учения.
Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других.
Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности.
Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии.
Архимед (ок. 287 – 212 гг. до н. э.)
Об Архимеде – великом математике и механике – известно больше, чем о других ученых древности.
Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Архимед научился находить касательную к своей спирали, нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2: 3.
Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга. Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.
Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит» – «О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа.
В «Началах» Евклида (3 в. до н.э.) имеются сохранившие свое значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа √2), и изложенная в геометрической форме.
И, наконец, арифметика, нашедшая свое место и укоренившаяся в Европе, стала распространяться и на русские земли. Первая русская арифметика вышла в 1703 году – это была книга об арифметике Леонтия Магницкого.
Вывод: при работе над данной темой я узнал много нового из истории возникновения чисел разных времён и народов. Исторические факты и современные исследования истории возникновения чисел доказывают, что арифметика является старейшей отраслью математики.
В процессе проведенного исследования я пришёл к выводу, что зачатки великой науки «Арифметики» были заложены еще в древние времена. Возникновение и развитие арифметики было неизбежным явлением, которое предопределено бытовыми потребностями человека.
Возникла арифметика в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений. Далее наука развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки.
3. Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой: (Материал для клас. и внеклас. занятий). – М.: Просвещение, 1981 – 112 с.
4. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.: АО Столетие, 1994. – 164 с.
5. Источники сети Интернет.
6. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847 с.
7. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352с.
«Что такое арифметика?»
Знаешь ли ты о существовании арифметики?